3D数学基础-矩阵变换（二）

2020年7月26日更新：
最近对变换重新学习整理了，文章在：图形学常见的变换推导。

上一篇笔记3D 数学基础-向量运算基础和矩阵变换记录了一些向量和矩阵运算的基础，和一些矩阵基本的变换。这篇笔记主要介绍了平移变换、齐次坐标、平移和旋转变换的组合、法线变换和改变坐标系。

平移（Translation）

前一篇文章总结了旋转、缩放等变换，这里介绍一下平移变换。

假如我们需要把 X 坐标从 x 变换到 x + 5，我们需要构造什么样的变换矩阵来实现平移呢？

$\begin{bmatrix}x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & & \\ & ? & \\ & & \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+5 \\ y \\ z \end{bmatrix}$

要注意的是，变换矩阵不能包含 x、y、z 等坐标变量。例如要得到 x + 5，那么矩阵的第一个行向量不能是 $$(1, 0, 5/z)$$，因为变换的一个重要性质是变换矩阵保持不变。

我们可以给矩阵多加一个维度 w，令其等于 1，这样就不需要用到 x、y、z 这些坐标变量了。

$\begin{bmatrix}x' \\ y' \\ z' \\ w' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+5 \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$

这里引用到了齐次坐标的概念。

齐次坐标

齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射几何变换。
—— F.S. Hill, JR 《计算机图形学(OpenGL 版)》作者

想要了解三维坐标是怎么样扩展到四维坐标，可以先了解下二维空间中的齐次坐标 $$(x, y, w)$$。

下图的三维坐标中在 $$w=1$$ 处有一个二维平面，则该平面上的二维平面坐标可以表示为 $$(x, y, 1)$$，图中的 $$(1.0, 0.8, 1.0)$$ 就是一个在该二维平面上的点。对于不在二维平面上的点，我们则将其投影到二维平面上，所以齐次坐标 $$(x, y, w)$$ 映射到实际二维平面上的点为 $$(x/w, y/w)$$，例如另外一个点 $$(2.5, 2.0, 2.5)$$ 在 $$w=1$$ 二维平面投影得到的点为 $$(1.0, 0.8)$$。

同理，三维空间的点可以认为是在四维空间中 $$w=1$$ 的“平面”上，所以齐次坐标 $$(x, y, z, w)$$ 映射到三维空间上的点为 $$(x/w, y/w, z/w)$$，这也就是点的非齐次坐标。

$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x/w \\ y/w \\ z/w \\ 1 \end{bmatrix}$

四维齐次坐标的任何常量缩放会得到相同的结果，也就是说，它包含了点的非齐次坐标所有可能的缩放（还记得上面图中的两个点吗？），w 可以等于任何数值：

如果 w > 0，这表示一个真实物理世界的点，我们可以用 x，y，z 三个坐标除以 w 得到这个真实的点。
如果 w = 0，这表示一个无穷远处的点。在实际应用中，通常表示一个向量。

齐次坐标的优点：

让我们可以同时考虑所有的变换，如平移、观察、旋转、透视投影等。（如果我们要做缩放变换，可以直接变换 x、y、z 的值并且保持 w 不变。）
整个渲染管线都以 4 * 4 的齐次坐标矩阵以及对应的四维向量为基础，只有在最后要表示真实点的位置的时候，才需要把齐次坐标变为非齐次。（计算机里除法是个非常复杂的操作，需要花费更多的时间周期，但齐次坐标只需在渲染管线最后一步做除法。）
不会出现特殊情况。有时考虑判断直线是否相交，当它们平行的时候，有些公式会出错，但无穷远点已经在齐次坐标中约定了 w=0。
四阶矩阵和齐次坐标是计算机图形软件和硬件中普遍使用的标准。

下面表示的是一个点向量加上一个平移变量：

$P{}'=TP=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x}\\ 0 & 1 & 0 & T_{y}\\ 0 & 0 & 1 & T_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+T_{x} \\ y+T_{y} \\ z+T_{z} \\ 1 \end{bmatrix}=P+T$

有时候平移矩阵 T 内的左上角部分会直接用单位矩阵来表示，其中 $$I_{3}$$ 表示 3 * 3 的单位矩阵。

$T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x}\\ 0 & 1 & 0 & T_{y}\\ 0 & 0 & 1 & T_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_{3} & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

组合平移和旋转变换

当要对一个点进行两种变换的时候，就会涉及到变换顺序的问题，是先平移再旋转，还是先旋转再平移？

先旋转再平移

$P{}'=\left ( TR \right )P=MP=RP+T$

其中 T 为平移矩阵，R 为旋转矩阵，矩阵 P 通过平移再旋转后得到矩阵 P’。注意，在上面的公式中做的是标准的向量计算，在计算时才用齐次坐标计算。

由于我们使用的是列矩阵，矩阵的阅读顺序应该从右到左。也就是说对于 TR 这个旋转矩阵而言，（TR）P 这个操作，就是对矩阵 P 先 R 旋转，再进行 T 平移。

$M=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x}\\ 0 & 1 & 0 & T_{y}\\ 0 & 0 & 1 & T_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} & 0\\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & 0\\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x}\\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y}\\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$MP=\begin{bmatrix} R & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} P & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} RP & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=RP+T$

先平移再旋转

$P{}'=(RT)P=MP=R(P+T)=RP+RT$

$M=\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} & 0\\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & 0\\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x}\\ 0 & 1 & 0 & T_{x}\\ 0 & 0 & 1 & T_{x}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R_{3\times 3} & R_{3\times 3}T_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3} & 1 \end{bmatrix}$

$MP=\begin{bmatrix} R_{3\times 3} & R_{3\times 3}T_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} P & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} RP & RT\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=RP+RT$

对比先平移再旋转的结果，可以看到不同的地方是 T 变成了 RT，也就是说旋转也施加在了平移的方向上。在下图中可看到小人在 Y 轴方向发生了平移，所以先旋转再平移可能会更容易得到理想的结果，但两种变换组合都是可行的。（在 gluLookAt 的推导中需要先做平移，gluLookAt 是 OpenGL 中观察变换的一个关键函数。）