3D数学基础-向量运算基础和矩阵变换

2020年7月26日更新：
最近对变换重新学习整理了，文章在：图形学常见的变换推导。

最近在跟公开课 edx 的 Computer Graphics（想一起学的告诉我！），这篇笔记主要介绍了图形学中会用到的比较基础的3D数学，重拾大学线性代数知识。

基础运算

点积（Dot Product）

将向量相乘得到一个标量
可以通过两个向量除以它们的模得到两个向量之间的夹角

用途：

求两个向量之间的夹角（光源和表面之间夹角的余弦值对于投影来说非常重要）
找到一个向量在另一向量上的投影也非常重要（比如我们想知道一个点在新的坐标系下的坐标）。
点积在笛卡尔坐标系下很有用

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\|a\|\|b\| \cos \theta$

叉积（Cross Product）

将向量相乘得到一个正交向量（垂直于向量a和向量b）

$\begin{array}{l}{a \times b=-b \times a} \\ {\|a \times b\|=\|a\|\|b\| \sin \theta}\end{array}$

叉积所得到的向量的方向可以通过右手坐标系来得到：

用右手食指代表叉积中前一个向量，用中指代表叉积中后一个向量，则大拇指的方向就是叉积得到的向量方向。这简单的方法能提醒你：将进行叉积的两个向量顺序调换的话，得到的向量方向会相反。

叉积可以用向量 a 的对偶矩阵来完成，所以可以将它表示成A星(A*)乘以b，其中A*是向量a的对偶矩阵（共轭转置）。

正交坐标系

正交基和坐标系对于表示点的位置非常重要，因为在图形学中，我们通常需要很多不同的坐标系，来表示点在不同参照物下的位置。例如：要表示自己身前一台电脑的位置，可以在自己的位置建立一个坐标系来表示电脑的位置；要表示北极的位置时，用地球的坐标系表示北极的位置会更容易。

矩阵

图形学中矩阵很重要，因为大多数变换都涉及一个矩阵乘以一个向量，矩阵可以用来变换点。下面简单的列一下矩阵的性质，更多的性质可以参考下维基页面矩阵。

矩阵相乘

矩阵相乘时，乘积处(i,j)处的元素是：第一个矩阵的 i 行和第二个矩阵 j 列的点积，这也是为什么要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

矩阵转置

$\left[\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \\ {10} & {11} & {12}\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {4} & {7} & {10} \\ {2} & {5} & {8} & {11} \\ {3} & {6} & {9} & {12}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{lll}{a} & {b} & {c} \\ {d} & {e} & {f} \\ {g} & {h} & {i}\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{lll}{a} & {d} & {g} \\ {b} & {e} & {h} \\ {c} & {f} & {i}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{lll}{x} & {y} & {z}\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{lll}{x} & {y} & {z}\end{array}\right]$

$(\mathbf{A B})^{T}=\mathbf{B}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}^{\mathrm{T}}$

矩阵的逆

$\left(\mathbf{M}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$

$\left(\mathbf{M}_{1} \mathbf{M}_{2} \cdots \mathbf{M}_{n-1} \mathbf{M}_{n}\right)^{-1}=\mathbf{M}_{n}^{-1} \mathbf{M}_{n-1}^{-1} \cdots \mathbf{M}_{2}^{-1} \mathbf{M}_{1}^{-1}$